Найдите сумму геометрической прогрессии, если известно, что сумма первого и третьего её членов равна 29, а второго и четвёртого — 11,6.

Для решения задачи воспользуемся свойствами геометрической прогрессии. Обозначим первый член прогрессии через $a$, а знаменатель прогрессии — через $q$.

1. Сначала запишем выражения для каждого из членов геометрической прогрессии:

   • Первый член: $a$

   • Второй член: $a \cdot q$

   • Третий член: $a \cdot q^2$

   • Четвертый член: $a \cdot q^3$

2. Из условия задачи известно, что:

   • Сумма первого и третьего членов равна 29:

     $$a + a \cdot q^2 = 29$$

   • Сумма второго и четвертого членов равна 11,6:

     $$a \cdot q + a \cdot q^3 = 11,6$$

3. Теперь у нас есть система из двух уравнений:

   $$a + a \cdot q^2 = 29 \tag{1}$$ $$a \cdot q + a \cdot q^3 = 11,6 \tag{2}$$

4. Из уравнения (1) можно вынести $a$ за скобки:

   $$a(1 + q^2) = 29$$

   Следовательно, $a = \frac{29}{1 + q^2}$.

5. Подставим это значение $a$ в уравнение (2):

   $$\frac{29}{1 + q^2} \cdot q \cdot (1 + q^2) = 11,6$$

   Сократим на $1 + q^2$:

   $$29 \cdot q = 11,6$$

   Из этого получаем:

   $$q = \frac{11,6}{29} = 0,4$$

6. Теперь подставим $q = 0,4$ в выражение для $a$:

   $$a = \frac{29}{1 + (0,4)^2} = \frac{29}{1 + 0,16} = \frac{29}{1,16} \approx 25$$

7. Мы нашли $a \approx 25$ и $q = 0,4$. Теперь можем найти сумму первых $n$ членов геометрической прогрессии. Сумма первых $n$ членов геометрической прогрессии выражается формулой:

   $$S_n = \frac{a(1 - q^n)}{1 - q}$$

   Если нас интересует сумма первых четырёх членов, то подставим $n = 4$, $a = 25$ и $q = 0,4$:

   $$S_4 = \frac{25(1 - 0,4^4)}{1 - 0,4}$$

   Посчитаем:

   $$0,4^4 = 0,0256$$ $$S_4 = \frac{25(1 - 0,0256)}{0,6} = \frac{25 \cdot 0,9744}{0,6} = \frac{24,36}{0,6} = 40,6$$

Таким образом, сумма первых четырёх членов геометрической прогрессии составляет 40,6.