1.Найти f'(x) а) y=tgx/1+x б) y=lg(cos3x) 2.Написать уравнение касательной f(x)=ln(9-x^2)

Ответы на вопрос

Отвечает Суржан Артур.

а) $y = \frac{\tan x}{1 + x}$

Для нахождения производной используем правило дифференцирования дробей (правило Лейбница):

y' = \frac{(u'v - uv')}{v^2}

где $u = \tan x$ , $v = 1 + x$ .

Найдем производные $u'$ и $v'$ :

u' = \sec^2 x

v' = 1

Подставляем в формулу:

y' = \frac{(\sec^2 x)(1 + x) - (\tan x)(1)}{(1 + x)^2}

Упростим:

y' = \frac{(1 + x) \sec^2 x - \tan x}{(1 + x)^2}

б) $y = \lg(\cos 3x)$

Используем правило дифференцирования сложной функции и формулу производной логарифма:

y' = \frac{1}{\cos 3x \ln 10} \cdot (-\sin 3x \cdot 3)

Так как производная $\cos 3x$ по $x$ равна $-3 \sin 3x$ .

Итак, производная:

y' = -\frac{3 \sin 3x}{\cos 3x \ln 10}

или

y' = -\frac{3 \tan 3x}{\ln 10}

Найдем уравнение касательной к графику функции $f(x) = \ln(9 - x^2)$ , которая параллельна прямой $x + 4y = 1$ .

Для начала преобразуем уравнение прямой в вид $y = kx + b$ , чтобы найти коэффициент углового наклона:

x + 4y = 1 \quad \Rightarrow \quad 4y = -x + 1 \quad \Rightarrow \quad y = -\frac{1}{4}x + \frac{1}{4}

Таким образом, угловой коэффициент прямой $k = -\frac{1}{4}$ .

Теперь найдем производную функции $f(x) = \ln(9 - x^2)$ :

f'(x) = \frac{-2x}{9 - x^2}

Нам нужно найти точку $x_0$ , где производная равна $-\frac{1}{4}$ , чтобы касательная была параллельна прямой:

\frac{-2x}{9 - x^2} = -\frac{1}{4}

Умножим обе части уравнения на $(9 - x^2)$ и на 4:

-8x = -(9 - x^2)

-8x = -9 + x^2

x^2 - 8x - 9 = 0

Решаем квадратное уравнение:

x = \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9)}}{2 \cdot 1}

1.Найти f'(x) а) y=tgx/1+x б) y=lg(cos3x) 2.Написать уравнение касательной f(x)=ln(9-x^2) параллельной прямой x+4y=1