В равнобедренной трапеции ABCD диагональ AC перпендикулярна боковой стороне CD. Найдите площадь трапеции, если угол CAD = 30 градусов, AD = 12 см.

Рассмотрим равнобедренную трапецию $ABCD$ так, что основания $AD \parallel BC$, а боковые стороны — $AB$ и $CD$. По условию $CD$ — боковая сторона, значит именно так и будем считать. Дано:

• $AC \perp CD$,

• $\angle CAD = 30^\circ$,

• $AD = 12$ см,

• трапеция равнобедренная $\Rightarrow AB = CD$.

1) Введём координаты

Положим:

• $A(0,0)$,

• $D(12,0)$ (так как $AD = 12$ по оси $x$),

• высота трапеции равна $h$, тогда верхнее основание лежит на прямой $y=h$,

• пусть $B(x_1,h)$, $C(x_2,h)$.

2) Используем угол $\angle CAD = 30^\circ$

Угол $\angle CAD$ — это угол между диагональю $AC$ и основанием $AD$ (ось $x$). Значит, прямая $AC$ образует с осью $x$ угол $30^\circ$, поэтому её наклон:

Отсюда

3) Условие перпендикулярности $AC \perp CD$

Вектор

а вектор

Перпендикулярность означает нулевое скалярное произведение:

Подставим $h = \dfrac{x_2}{\sqrt{3}}$, тогда $h^2 = \dfrac{x_2^2}{3}$:

Раскроем: