В треугольнике АВС угол С равен 61 градус, АД — биссектриса угла А, угол ВАД равен 40 градусов. Найдите градусную меру угла ВДА.

Дано, что угол $\angle C = 61^\circ$, $AD$ — биссектриса угла $\angle A$, и $\angle BAD = 40^\circ$. Требуется найти угол $\angle BDA$.

1. Угол $\angle A$:
   Поскольку $AD$ является биссектрисой угла $\angle A$, то угол $\angle BAD$ составляет половину угла $\angle A$:

   $$\angle BAD = \frac{1}{2} \angle A.$$

   Нам известно, что $\angle BAD = 40^\circ$, следовательно:

   $$\angle A = 2 \times 40^\circ = 80^\circ.$$

2. Сумма углов треугольника:
   В треугольнике $ABC$ сумма углов всегда равна $180^\circ$. Известно, что $\angle A = 80^\circ$ и $\angle C = 61^\circ$, тогда угол $\angle B$ можно найти как:

   $$\angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C = 180^\circ - 80^\circ - 61^\circ = 39^\circ.$$

3. Угол $\angle BDA$:
   Теперь, зная, что $AD$ — биссектриса, мы можем использовать теорему о биссектрисе угла. Теорема говорит, что углы, образованные биссектрисой, равны. Следовательно, угол $\angle BDA$ равен углу $\angle B$:

   $$\angle BDA = \angle B = 39^\circ.$$

Ответ: угол $\angle BDA$ равен $39^\circ$.