В треугольной пирамиде все двугранные углы при основании равны 60 градусов, в основании — равнобедренный треугольник со сторонами 10 см, 10 см и 12 см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

Основание — равнобедренный треугольник со сторонами 10 см, 10 см и 12 см. Найдём его площадь и радиус вписанной окружности.

Полупериметр: \( p = \frac{10+10+12}{2} = 16 \) см.
Площадь по формуле Герона: \( S_{\text{осн}} = \sqrt{16 \cdot (16-10) \cdot (16-10) \cdot (16-12)} = \sqrt{16 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 4} = 48 \) см².
Радиус вписанной окружности: \( r = \frac{S_{\text{осн}}}{p} = \frac{48}{16} = 3 \) см.

Все двугранные углы при основании равны 60°. Это значит, что проекция вершины пирамиды на основание — центр вписанной окружности, а высота пирамиды \( h \) связана с \( r \) соотношением \( \tan 60^\circ = \frac{h}{r} \).
\( \tan 60^\circ = \sqrt{3} \), поэтому \( h = r\sqrt{3} = 3\sqrt{3} \) см.

Апофема (высота боковой грани) для каждой стороны основания одинакова, так как все расстояния от центра до сторон равны \( r \):
\( l = \sqrt{h^2 + r^2} = \sqrt{(3\sqrt{3})^2 + 3^2} = \sqrt{27 + 9} = \sqrt{36} = 6 \) см.

Площадь боковой поверхности:
\( S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot (10 + 10 + 12) \cdot 6 = \frac{1}{2} \cdot 32 \cdot 6 = 96 \) см².

Полная площадь поверхности:
\( S_{\text{полн}} = S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}} = 48 + 96 = 144 \) см².

Ответ: 144 см².

0 0 Пожаловаться