Вычислить: (sin5°cos15° + cos5°sin15°) / (cos80°cos150° + sin80°sin150°)

Для вычисления выражения $(\sin 5° \cdot \cos 15° + \cos 5° \cdot \sin 15°) / (\cos 80° \cdot \cos 150° + \sin 80° \cdot \sin 150°)$, воспользуемся тригонометрическими формулами.

1. Применяем формулы для синуса и косинуса суммы углов:

   • Первая часть числителя: $\sin 5° \cdot \cos 15° + \cos 5° \cdot \sin 15°$ — это по формуле для синуса суммы:

     $$\sin(A + B) = \sin A \cdot \cos B + \cos A \cdot \sin B$$

     Таким образом, $\sin 5° \cdot \cos 15° + \cos 5° \cdot \sin 15° = \sin(5° + 15°) = \sin 20°$.

   • Вторая часть знаменателя: $\cos 80° \cdot \cos 150° + \sin 80° \cdot \sin 150°$ — это по формуле для косинуса суммы углов:

     $$\cos(A + B) = \cos A \cdot \cos B + \sin A \cdot \sin B$$

     Таким образом, $\cos 80° \cdot \cos 150° + \sin 80° \cdot \sin 150° = \cos(80° - 150°) = \cos(-70°)$.
     А так как $\cos(-70°) = \cos 70°$, получаем:

     $$\cos 80° \cdot \cos 150° + \sin 80° \cdot \sin 150° = \cos 70°.$$

2. Теперь подставим результаты в исходное выражение:

   $$\frac{\sin 20°}{\cos 70°}$$

   По тригонометрической тождественности $\sin 20° = \cos 70°$, поэтому выражение упрощается до:

   $$\frac{\cos 70°}{\cos 70°} = 1.$$

Ответ: $1$.