Как доказать что: √x²=|x|

Докажем равенство

для любого действительного числа $x$.

1) Что означает $\sqrt{\;}$

По определению, $\sqrt{a}$ для $a\ge 0$ — это неотрицательное число $y$, такое что $y^2=a$.
То есть:

• $\sqrt{x^2}$ — это неотрицательное число, квадрат которого равен $x^2$.

2) Что означает $|x|$

Модуль определяется так:

И всегда выполняется $|x|\ge 0$.

3) Ключевая идея доказательства

Рассмотрим число $y=|x|$. Тогда:

• $y\ge 0$ (модуль неотрицателен),

• $y^2=(|x|)^2=x^2$ (квадрат модуля равен квадрату числа).

То есть $y$ — неотрицательное число, квадрат которого равен $x^2$. А по определению квадратного корня единственное такое число — это $\sqrt{x^2}$. Значит,

4) Доказательство “по случаям” (если нужно формально)

Случай 1: $x\ge 0$. Тогда $|x|=x$. Кроме того, $\sqrt{x^2}=x$, потому что $x$ неотрицателен и $x^2$ — его квадрат. Значит $\sqrt{x^2}=|x|$.

Случай 2: $x<0$. Тогда $|x|=-x>0$. Число $-x$ неотрицательно, и $(-x)^2=x^2$. Значит $\sqrt{x^2}=-x=|x|$.

В обоих случаях получаем:

5) Почему нельзя писать $\sqrt{x^2}=x$ всегда

Потому что $\sqrt{\;}$ возвращает только неотрицательное значение. Например, при $x=-3$:

Поэтому правильный ответ — именно $|x|$, а не $x$.