log₃(x² + 8x) = 2 решить уравнение с объяснением

Чтобы решить уравнение $\log_3(x^2 + 8x) = 2$, следуем пошагово:

Шаг 1: Переводим логарифм в экспоненциальную форму.

У нас есть логарифм с основанием 3. Мы можем перевести это уравнение в экспоненциальную форму, используя определение логарифма: если $\log_b(a) = c$, то $a = b^c$. В нашем случае:

Шаг 2: Упростим правую часть уравнения.

Поскольку $3^2 = 9$, уравнение становится:

Шаг 3: Переносим все на одну сторону.

Переносим 9 на левую сторону:

Теперь у нас есть квадратное уравнение.

Шаг 4: Решаем квадратное уравнение.

Для решения уравнения $x^2 + 8x - 9 = 0$ можно использовать дискриминант или формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

Дискриминант $\Delta$ вычисляется по формуле:

Для уравнения $x^2 + 8x - 9 = 0$ $a = 1$, $b = 8$, и $c = -9$. Подставим эти значения в формулу для дискриминанта:

Теперь находим корни уравнения с помощью формулы:

Подставляем $b = 8$, $\Delta = 100$, и $a = 1$:

Это дает два корня:

Шаг 5: Проверка корней.

Логарифм может быть определен только для положительных значений внутри аргумента. То есть $x^2 + 8x$ должно быть больше 0.

1. Проверим $x_1 = 1$:

Так как 9 > 0, $x_1 = 1$ — это подходящий корень.

2. Проверим $x_2 = -9$:

Так как 9 > 0, $x_2 = -9$ тоже подходит.

Ответ:

Решения уравнения: $x = 1$ и $x = -9$.