В прямоугольный треугольник вписана окружность. Точка ее касания с гипотенузой делит гипотенузу на части, длины которых равны 6 см и 4 см. Найти площадь данного треугольника.

Пусть точка касания окружности с гипотенузой делит её на отрезки 6 см и 4 см. Тогда вся гипотенуза равна:

Обозначим длины касательных, проведённых из вершины прямого угла к окружности, через $x$. Важно, что касательные, проведённые из одной точки к окружности, равны.

Тогда два катета будут состоять из отрезков:

и

А гипотенуза равна $10$.

Так как треугольник прямоугольный, применим теорему Пифагора:

Раскроем скобки:

Разделим на 2:

Решим квадратное уравнение:

Отрицательный корень не подходит, значит $x=2$.

Тогда катеты равны:

Получился прямоугольный треугольник со сторонами $6$, $8$, $10$.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:

Ответ: $24\text{ см}^2$.