Sin^x-cos^x=корень из2/2

Давай разберём уравнение:

Сначала уточним: под $\sin^x$ и $\cos^x$ обычно понимают $(\sin x)^2$ и $(\cos x)^2$, или просто $\sin(x)$ и $\cos(x)$ возведённые в степень $x$. Судя по контексту, скорее всего имелось в виду стандартное тригонометрическое выражение без степеней:

Шаг 1. Используем метод приведения к одной функции

Выражение $\sin x - \cos x$ удобно переписать через одну функцию с помощью формулы:

Проверим: $\sin x - \cos x = \sqrt{2} \sin(x - \pi/4)$. Это верно, потому что $\sin(x - \pi/4) = \sin x \cos(\pi/4) - \cos x \sin(\pi/4) = \frac{\sqrt{2}}{2} (\sin x - \cos x)$. Умножая обе части на $\sqrt{2}$, получаем исходное выражение.

Шаг 2. Подставляем в уравнение

Делим обе части на $\sqrt{2}$:

Шаг 3. Решаем стандартное синусовое уравнение

$\sin \theta = 1/2$ имеет решения:

Здесь $\theta = x - \pi/4$. Подставляем:

1. $x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \implies x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n = \frac{5\pi}{12} + 2\pi n$

2. $x - \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \implies x = \frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n = \frac{25\pi}{12} + 2\pi n$