Вычислите ctg(t-3π), sin(t+2π), tg(t-π), если cos(t+2π)=-12/13, π

Ответы на вопрос

Отвечает Залесская Злата.

Давай разберём задачу шаг за шагом. У нас есть условие:

\cos(t + 2\pi) = -\frac{12}{13}, \quad t \in \pi + 2k\pi? \text{(по смыслу, } t \text{ на прямой)}.

Заметим, что функция косинуса 2π-периодична, поэтому:

\cos(t + 2\pi) = \cos t \implies \cos t = -\frac{12}{13}.

\sin^2 t + \cos^2 t = 1 \implies \sin^2 t = 1 - \left(-\frac{12}{13}\right)^2 = 1 - \frac{144}{169} = \frac{25}{169}.

Следовательно:

\sin t = \pm \frac{5}{13}.

Чтобы определить знак, нужно знать, в какой четверти находится угол $t$ . Поскольку $\cos t < 0$ , угол $t$ находится во II или III четверти:

Так как конкретная четверть не указана, оставим общий вид: $\sin t = \pm 5/13$ .

Функция синуса тоже 2π-периодична, поэтому:

\sin(t + 2\pi) = \sin t = \pm \frac{5}{13}.

Используем формулу для тангенса:

\tan(t - \pi) = \tan t.

Но! Напомним, что:

\tan(t - \pi) = \frac{\sin(t - \pi)}{\cos(t - \pi)} = \frac{-\sin t}{-\cos t} = \frac{\sin t}{\cos t} = \tan t.

Следовательно:

\tg(t - \pi) = \frac{\sin t}{\cos t} = \frac{\pm 5/13}{-12/13} = \mp \frac{5}{12}.

То есть знак противоположен $\sin t$ .

Сначала используем периодичность:

\cot(t - 3\pi) = \cot(t - \pi - 2\pi) = \cot(t - \pi) \quad \text{(2π-период)}.

Далее, формула котангенса для разности с $\pi$ :

\cot(t - \pi) = \frac{\cos(t - \pi)}{\sin(t - \pi)} = \frac{-\cos t}{-\sin t} = \frac{\cos t}{\sin t} = \ctg t.

Следовательно:

\ctg(t - 3\pi) = \ctg t = \frac{\cos t}{\sin t} = \frac{-12/13}{\pm 5/13} = \mp \frac{12}{5}.

\begin{aligned} \sin(t + 2\pi) &= \pm \frac{5}{13}, \\ \tg(t - \pi) &= \mp \frac{5}{12}, \\ \ctg(t - 3\pi) &= \mp \frac{12}{5}. \end{aligned}

Ответы на вопрос