sin5x-cos5x=(корень из (6))\2

Для того чтобы решить уравнение $\sin(5x) - \cos(5x) = \frac{\sqrt{6}}{2}$, давайте разберем его пошагово.

1. Приведение к одному виду:
   Сначала заметим, что можно представить $\sin(5x) - \cos(5x)$ в виде выражения через синус одного угла. Для этого воспользуемся тригонометрической формулой для разности синуса и косинуса:

   $$\sin(A) - \cos(A) = \sqrt{2} \cdot \sin\left(A - \frac{\pi}{4}\right)$$

   Подставим $A = 5x$ в эту формулу:

   $$\sin(5x) - \cos(5x) = \sqrt{2} \cdot \sin\left(5x - \frac{\pi}{4}\right)$$

2. Подставляем в исходное уравнение:
   Теперь подставим это выражение в исходное уравнение:

   $$\sqrt{2} \cdot \sin\left(5x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{6}}{2}$$

3. Решаем для синуса:
   Разделим обе стороны на $\sqrt{2}$:

   $$\sin\left(5x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{2}}$$

   Упростим правую часть выражения. Для этого заметим, что:

   $$\frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{8}} = \frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

   Таким образом, у нас получается:

   $$\sin\left(5x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

4. Находим значения угла:
   Теперь необходимо решить уравнение для $\sin\left(5x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Известно, что синус угла равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$ при углах $\frac{\pi}{3}$ и $2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}$. Таким образом, у нас есть два возможных решения:

   $$5x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{3} \quad \text{или} \quad 5x - \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{3}$$